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题文
已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足,设P为弦AB的中点。
(1)求点P的轨迹T的方程;
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由。
题型:解答题难度:中档来源:专项题
答案
解:(1)连接CP,由知AC⊥BC,

由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9
设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,
化简,得到x2-x+y2=4。
(2)根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于
到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,
其中
∴p=2,故抛物线方程为y2=4x
由方程组
得x2+3x-4=0,
解得x1=1,x2=-4
由于x≥0,故取x=1,此时y=±2
故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2)。
据魔方格专家权威分析,试题“已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足,..”主要考查你对  曲线的方程抛物线的标准方程及图象圆锥曲线综合  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程抛物线的标准方程及图象圆锥曲线综合
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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