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题文
已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。
题型:解答题难度:中档来源:江苏高考真题
答案
解:∵c=(0,a),i=(1,0),
ci=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa),
因此,直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax,
消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2
整理得,①
因为a>0,所以得
(Ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;
(Ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点;
(Ⅲ)当时,方程①也表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点。
据魔方格专家权威分析,试题“已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向..”主要考查你对  曲线的方程椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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