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题文
如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点。
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤),确定θ的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?
题型:解答题难度:偏难来源:江西省高考真题
答案
解:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),

1°当AB不垂直x轴时,x1≠x2
由(1)-(2)得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

∴b2x2+a2y2-b2cx=0(3);
2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)
故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0。
(2)因为,椭圆Q右准线l方程是x=,原点距l的距离为
由于c2=a2-b2,a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤
==2sin(+
当θ=时,上式达到最大值。
此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
设椭圆Q:上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2),
三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
设直线m的方程为x=ky+1,代入中,得
(2+k2)y2+2ky-1=0
由韦达定理得y1+y2=,y1y2=

令t=k2+1≥1,得
当t=1,k=0时取等号
因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大。
据魔方格专家权威分析,试题“如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m..”主要考查你对  曲线的方程基本不等式及其应用椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)直线与椭圆方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程基本不等式及其应用椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)直线与椭圆方程的应用
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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