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题文
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:重庆市高考真题
答案
解:(1)如图,在矩形ABCD中,AD∥BC,
从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离
因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,
由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形,
又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB
又在矩形AB-CD中,BC⊥AB,
而AB是PB在底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE
从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,
在Rt△PAB中,
所以
(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,
则∠DFG为所求的二面角的平面角
由(1)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,
得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而
在Rt△CBE中,

所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC,设AE⊥CE,又FG⊥CE,知
从而,且G点为AC的中点
连结DG,则在Rt△ADG中,

所以
 
据魔方格专家权威分析,试题“如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点..”主要考查你对  直线与平面间的距离二面角  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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直线与平面间的距离二面角
考点名称:直线与平面间的距离
  • 直线和平面间的距离:

    直线与平面相交时,直线与平面的距离为0;
    直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等(直线与平面的距离即为直线上的点到平面的距离)。

  • 求直线与平面的距离的方法:

    转化为点到直线的距离,即在直线上选一个合适的点,求这个点到平面的距离。

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