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题文
用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一个近似解x=x0的问题.
(1)若借助计算器,算得
第一次:f(2)<0,f(3)>0⇒x0∈______;
第二次:______;
第三次:f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75);
第四次:f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625);
第五次:f(2.5)<0,f(2.5625)>0⇒x0∈(2.5,2.5625);
第六次:f(2.53125)<0,f(2.5625)>0⇒x0∈(2.53125,2.5625);

(2)若精确度为0.1,至少需算______次,近似解x0=______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详
答案
(1)第一次:∵f(2)•f(3)<0,∴x0∈(2,3);
第二次:取x=
2+3
2
=2.5,∵f(2.5)•f(3)<0,∴x0∈(2.5,3);
第三次:取x=
2.5+3
2
=2.75,由f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75);
第四次:取x=
2.5+2.75
2
=2.625,由f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625);
第五次:取x=
2.5+2.625
2
=2.5625,由f(2.5)<0,f(2.5625)>0⇒x0∈(2.5,2.5625);
(2)当区间长度为:2.5625-2.5=0.0625<0.1时,精确度为0.1;
∴至少需算5次,此时近似解x0=2.5625;
故答案为:(2,3),f(2.5)<0,f(3)>0⇒x0∈(2.5,3);
5,2.5625.
据魔方格专家权威分析,试题“用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一个近似解x=x0的问题.(1)若借助计..”主要考查你对  用二分法求函数零点的近似值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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用二分法求函数零点的近似值
考点名称:用二分法求函数零点的近似值
  • 二分法的定义

    对于区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

    给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤:

    (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ;
    (2)求区间(a,b)的中点x1
    (3)计算f(x1),
    ①若f(x1)=0,则就是函数的零点;
    ②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
    ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));
    (4)判断是否达到精确度ξ,即若|a-b|<ξ,则达到零点近似值a(或b);否则重复(2)-(4)。

  • 利用二分法求方程的近似解的特点:

    (1)二分法的优点是思考方法非常简明,缺点是为了提高解的精确度,求解的过程比较长,有些计算不用计算工具甚至无法实施,往往需要借助于科学计算器.
    (2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法,它只要求函数是连续的,因此它的使用范围很广,并便于在计算机上实现,但是它不能求重根,也不能求虚根。

  •  关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点:

    ①第一步中要使区间长度尽量小,f(a),f(b)的值比较容易计算,且f(a).f(b)<0;
    ②根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的,对于求方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根;
    ③设函数的零点为x0,则a<x0<b,作出数轴,在数轴上标出a,b,x0对应的点,如图,所以0<x0-a<b-a,a一b<x0-b<0.由于|a -b|<ε,所以|x0 -a|<b-a<ε,|x0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度ε
        
    ④我们可用二分法求方程的近似解.由于计算量大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算.

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