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题文
过点Q(-2,
21
)
作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设
OK
=
OA
+
OB
,求|
OK
|
的最小值(O为坐标原点).
(3)从圆O外一点M(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此时点M的坐标.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)圆C:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),则
∵过点Q(-2,
21
)作圆C:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4
∴r=OD=
QO2-QD2
=
4+21-16
=3;
(2)设直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,则A(a,0),B(0,b),
OK
=
OA
+
OB
,∴
OK
=(a,b),∴|
OK
|=
a2+b2

∵直线l与圆C相切,∴
|-ab|
a2+b2
=3
∴3
a2+b2
=ab≤
a2+b2
2

∴a2+b2≥36
∴|
OK
|≥6
当且仅当a=b=3
2
时,|
OK
|的最小值为6.
(3)∵切线MN⊥OT,∴|MT|2=|MO|2-9,又|MN|=|MT|,∴|MN|2=|MO|2-9,
M(x1,y1),过N(2,3)的直线的斜率为k,所以NT的方程为:y-3=k(x-2),
与圆的方程x2+y2=9联立,
y-3=k(x-2)
x2+y2=9
,消去y可得:(k2+1)x2+2(3-2k)kx+4k2-12k=0,
因为直线与圆相切,所以△=0,即[2(3-2k)k]2-4(k2+1)(4k2-12k)=0,
化简得:5k2+12k=0,解得k=0或k=-
12
5

当k=0时,x=0,此时T(0,3),当k=
12
5
时,x=
36
13
,此时T(
31
13
27
13

∴满足条件的M点坐标为(1,3)或(
31
13
27
13
据魔方格专家权威分析,试题“过点Q(-2,21)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.(1)求..”主要考查你对  圆的切线方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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圆的切线方程
考点名称:圆的切线方程
  • 圆的切线方程:

    1、已知圆
    (1)若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
    (2)当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。
    (3)过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。
    (4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。
    2、已知圆
    (1)过圆上的点的切线方程为
    (2)斜率为k的圆的切线方程为

  • 圆的切线方程的求法:

    ①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
    ②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.

    过定点的圆的切线方程:

    ①过圆上一点的切线方程:
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是

    ②过圆外一点的切线方程:设外一点,求过P0点的圆的切线.
    方法l:设切点是,解方程组

    求出切点P1的坐标,即可写出切线方程。
    方法2:设切线方程是 ,再由 求出待定系数k,就可写出切线方程.
    特别提醒:一般说来,方法2比较简便,但应注意,可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.
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