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题文
已知圆C:x2-2ax+y2-4y+a2=0(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2
2
时.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(I)∵圆C方程为x2-2ax+y2-4y+a2=0,
∴化成标准方程得(x-a)2+(y-2)2=4,
可得圆心为C(a,2),半径r=2.
由此可得C到直线l:x-y+3=0的距离为d=
|a-2+3|
2
=
2
2
|a+1|

∵直线l被圆C截得的弦长为2
2

∴根据垂径定理,可得
r2-d2
=
2

4-
1
2
(a+1)2
=
2

解得a=1或-3,
结合a>0,可得a=1(负值舍去);
(II)由(I)可得圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,
设过点(3,5)并与圆C相切的直线为m:y-5=k(x-3),
即kx-y-3k+5=0,
∵直线m与圆C相切,
∴点C到直线m的距离等于半径,
|k-2-3k+5|
k2+1
=2
,解之得k=
5
12

可得直线m方程为y-5=
5
12
(x-3),
化简得5x-12y+45=0.
又∵当经过点(3,5)的直线斜率不存在时,方程为x=3,也与圆C相切,
∴所求切线方程为x=3和5x-12y+45=0.
据魔方格专家权威分析,试题“已知圆C:x2-2ax+y2-4y+a2=0(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截..”主要考查你对  圆的切线方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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圆的切线方程
考点名称:圆的切线方程
  • 圆的切线方程:

    1、已知圆
    (1)若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
    (2)当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程。
    (3)过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线。
    (4)斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线。
    2、已知圆
    (1)过圆上的点的切线方程为
    (2)斜率为k的圆的切线方程为

  • 圆的切线方程的求法:

    ①代数法:设出切线方程,利用切线与圆仅有一个交点,将直线方程代入圆的方程,从而△=0,可求解;
    ②几何法利用几何特征:圆心到切线的距离等于圆的半径,可求解.

    过定点的圆的切线方程:

    ①过圆上一点的切线方程:
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是
    与圆的切线方程是

    ②过圆外一点的切线方程:设外一点,求过P0点的圆的切线.
    方法l:设切点是,解方程组

    求出切点P1的坐标,即可写出切线方程。
    方法2:设切线方程是 ,再由 求出待定系数k,就可写出切线方程.
    特别提醒:一般说来,方法2比较简便,但应注意,可能遗漏k不存在的切线.因此,当解出的k值唯一时,应观察图形,看是否有垂直于x轴的切线.
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