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题文
如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,PA=AB=,点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:同步题
答案
解:(1) 如图,在矩形ABCD 中,ADBC,从而AD平面PBC ,故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面  PBC 的距离.
因PA⊥底面ABCD ,故PA ⊥AB ,
由PA=AB 知△PAB 为等腰直角三角形,
又点E 是棱PB 的中点,故AE ⊥PB.
又在矩形ABCD 中,BC ⊥AB ,而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影,
由三垂线定理得BC⊥PB ,从而BC⊥平面PAB ,
故BC⊥AE,从而AE ⊥平面PBC ,
故AE 的长即为直线AD与平面PBC的距离.
在Rt △PAB 中,PA=AB=
所以
即直线AD与平面PBC的距离为
(2)过点D作DF⊥CE,交CE于F,过点F作FG⊥CE,交AC于G,
则∠DFG为所求二面角的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAB,
又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,
故AD⊥AE,从而DE=
在Rt△CBE中,CE=
所以△CDE为等边三角形,
故点F为CE的中点,且DF=CD·
因为AE⊥平面PBC,
故AE⊥CE,
又FG⊥CE,
所以,从而
且点G为AC的中点.连结DC.
则在Rt△ADC中,
所以cos∠DFG=
即二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
据魔方格专家权威分析,试题“如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点..”主要考查你对  直线与平面间的距离二面角  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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直线与平面间的距离二面角
考点名称:直线与平面间的距离
  • 直线和平面间的距离:

    直线与平面相交时,直线与平面的距离为0;
    直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等(直线与平面的距离即为直线上的点到平面的距离)。

  • 求直线与平面的距离的方法:

    转化为点到直线的距离,即在直线上选一个合适的点,求这个点到平面的距离。

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