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题文
设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后,得到曲线C1
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明:曲线C与C1关于点A(
t
2
s
2
)对称.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)根据题意,将C沿x轴、正向平移t单位长度后,x变为x-t,将C沿y轴正向平移s单位长度后,y 变为y-s;
则可得,C1:y-s=(s-t)3-(x-t).①
(2)证明:设P1(x1,y1)为曲线C1上任意一点,
它关于点A(
t
2
s
2
)的对称点为:P(t-x1,s-y1),
把P点坐标代入曲线C的方程,左=s-y1,右=(t-x13-(t-x1).
由于P1在曲线C1上,
∴y1-s=(x1-t)3-(x1-t).
∴s-y1=(t-x13-(t-x1
即点P(t-x1,s-y1)在曲线C上.
同理可证:曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.
∴曲线C与C1关于点A(
t
2
s
2
)对称.
据魔方格专家权威分析,试题“设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度..”主要考查你对  曲线的方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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