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题文
设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A(
t
2
s
2
)对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=
t3
4
-t且t≠0.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s.
(2)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1).设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,
则有
x1+x2
2
=
t
2
y1+y2
2
=
s
2
,所以x1=t-x2,y1=s-y2
代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:
s-y2=(t-x23-(t-x2),即y2=(x2-t)3-(x2-t)+s,可知点B2(x2,y2)在曲线C1上.
反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.
因此,曲线C与C1关于点A对称.
(3)证明:因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以,方程组
y=x3-x
y=(x-t)3-(x-t)+s
有且仅有一组解.
消去y,整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0,这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t(t3-t-s)=0,即
t≠0
t(t3-4t-4s)=0.

所以s=
t3
4
-t
且t≠0.
据魔方格专家权威分析,试题“设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位..”主要考查你对  曲线的方程函数零点的判定定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程函数零点的判定定理
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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