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题文
已知数列{an},其中a1=1,an+1=
2an
1+2an
(n∈N*
(1)写出{an}的前4项
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法进行证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(1)∵a1=1,an+1=
2an
1+2an

∴a2=
2a1
1+2a1
=
2
1+2
=
2
3

同理可求,a3=
4
7
,a4=
8
15
…(2分)
(2)由(1)猜想an=
2n-1
2n-1
…(5分)
证明:①当n=1时,a1=
21-1
21-1
=
1
1
=1,猜想成立    …(7分)
②假设n=k(k>1且k∈N*)时ak=
2k-1
2k-1
成立 …(8分)
那么当n=k+1时,ak+1=
2ak
1+2ak
=
2•
2k-1
2k-1
1+2•
2k-1
2k-1
=
2•2k-1
2k-1+2•2k-1
=
2k
2•2k-1
=
2k-1+1
2k+1-1

即:n=k+1猜想成立                        …(12分)
综上所述:当n∈N*时an=
2n-1
2n-1
成立.            …(13分)
据魔方格专家权威分析,试题“已知数列{an},其中a1=1,an+1=2an1+2an(n∈N*)(1)写出{an}的前4项..”主要考查你对  数学归纳法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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数学归纳法
考点名称:数学归纳法
  • 归纳法:

    对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可能情况,归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。

    数学归纳法:

    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
    (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
    (2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立;
    完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法叫做数学归纳法。

  • 数学归纳法的特点:

    ①用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要,两步骤缺一不可;
    ②第二步证明,由假设n=k时命题成立,到n=k+1时.必须用假设条件,否则不是数学归纳法;
    ③最后一定要写“由(1)(2)……”。

    数学归纳法的应用:

    (1)证明恒等式;
    (2)证明不等式;
    (3)三角函数;
    (4)计算、猜想、证明。

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