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题文
下列关于曲线5x2y2+y4=1的描述中:①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为
2
5
5
正确的序号是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详
答案
曲线5x2y2+y4=1 即 y2(5x2+y2)=1,显然,y≠0.故表示的曲线不是封闭曲线,故①不正确.
把曲线方程中的(x,y )同时换成(-x,-y ),方程不变,故曲线关于原点对称,故②正确.
令 t=x2+y2,则 x2=t-y2,代入5x2y2+y4=1
化简得t=
1+4y4
5y2
=
1
5y2
+
4y2
5
≥2
1
5y2
4y2
5
=
4
5

故t 的最小值等于
4
5

∴曲线上的点到原点的距离
t
 的最小值为
2
5
5
,故③正确.
故答案为  ②③.
据魔方格专家权威分析,试题“下列关于曲线5x2y2+y4=1的描述中:①该曲线是封闭曲线②图象关于原点..”主要考查你对  曲线的方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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曲线的方程
考点名称:曲线的方程
  • 曲线的方程的定义:

    在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
    那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

    求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  • 求曲线的方程的步骤:

    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
    (2)写出适合条件的p(M)的集合,P={M|p(M)};
    (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

    求曲线方程的常用方法:

    (1)待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程,先设出来,然后根据条件列出方程(组)求解未知数。
    (2)直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来,从而得到其横、纵坐标之间的关系式。(3)定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
    (4)交轨法:就是在求两动曲线交点轨迹方程时,联立方程组消去参数,得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。
    (5)参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系,然后通过消参得出其直接关系。
    (6)相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系,来求曲线方程的方法。

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