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题文
如图,已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等.若AB=6,二面角P-BD-S的余弦值为
1
3

(Ⅰ)求证:PB⊥平面PAD;
(Ⅱ)求多面体SPABC的体积..
魔方格
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(Ⅰ)
魔方格
分别作出两个正三棱锥的高PN、SM,连接AC交BD于O,连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°,可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中,PB=PD,O为BD中点
∴PO⊥BD,
同理,SO⊥BD,可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON=
1
3
OA
,OM=
1
3
OC
∴MN=
1
3
AC

∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°,
∴AC=
3
AB=6
3
⇒MN=
1
3
AC
=2
3

∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形,所以PS=MN=2
3

∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中,根据余弦定理得:cos∠POS=
OP2+OS2-PS2
2•OP•OS
=
1
3

可得OP=OS=3
∵Rt△POB中,OB=
1
2
AB=3

∴PB=
OB2+OP2
=3
2

在△PDB中,PB2+PD2=36=BD2
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得:BP⊥PA,结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
(Ⅱ)由(I)得PA=PB=3
2
,AN=
1
3
AC=2
3

∴Rt△PAN中,高PN=
PA 2-AN2
=
6

因此,正三棱锥P-ABD的体积V=
1
3
S △ABD•PN
=
1
3
×
3
4
AB2
×
6
=9
2

∴多面体SPABC的体积为V1=2×18
3
=18
2
据魔方格专家权威分析,试题“如图,已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD(底面是正三..”主要考查你对  组合体的表面积与体积直线与平面垂直的判定与性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问魔方格学习社区
组合体的表面积与体积直线与平面垂直的判定与性质
考点名称:组合体的表面积与体积
  • 定义:

    组合体的表面积与体积主要通过计算组成几何体的简单几何体的表面积与体积来求解。

  • 组合体的表面积和体积与球有关的组合体问题:

    一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或”、点。

  • 求几何体的体积的几种常用方法:

    (1)分割求和法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积求和;
    (2)补形法:把不规则形体补成规则形体,不熟悉形体补成熟悉形体,便于计算其体积;
    常见的补形方法:

      

         
    (3)等体积转化法:从不同的角度看待原几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理,求原几何体的体积。
           
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